A Matemática da Mega da Virada

30 Dec 2017

Na época de fim de ano, muitas pessoas voltam suas atenções para um evento probabilístico chamado Mega da Virada. Mas será que elas entendem a real chance de ganharem?

A probabilidade

A Mega-sena é um evento da loteria brasileira em que, dentre 60 números, nomeados de 1 a 60, o jogador deve marcar uma quantidade entre 6 e 15 números. O vencedor do prêmio máximo é aquele que corretamente marca os 6 números sorteados. O preço da aposta é R$ 3,50, então esse tipo de sorteio acumulado no final do ano é visto por muitos como uma forma de enriquecer facilmente apenas na sorte.

Em termos matemáticos, é muito fácil calcular a chance de ganhar nesse evento. O número de cartões possíveis é dado pela combinação de 60, 6 a 6, ou:

\[C_{60}^6 = \frac{60!}{54!6!} = 50.063.860\]

Sua chance de acertar o cartão é uma em cinquenta milhões, sessenta e três mil e oitocentos e sessenta! Para jogar todos os cartões possíveis, você teria que desembolsar aproximadamente 175 milhões de reais.

O jogo ainda te dá a chance de jogar vários cartões de uma só vez em um cartão só, preenchendo mais de 6 números. Por exemplo, ao jogar 7 números, você estará jogando o equivalente a 7 cartões diferentes, e o preço do cartão subirá proporcionalmente. Não existe nenhuma vantagem em jogar 7 cartões ou 6 números ou 1 cartão com 7 números.

Você pode alterar os parâmetros abaixo e ver como a sua probabilidade muda quanto mais números você joga. Tente alterar as propriedades do concurso! Quantos números você precisa jogar para ter 50% de chance de ganhar, o equivalente a ganhar no cara-ou-coroa? A reposta é 54. Mesmo jogando 59 números em 60, sua chance seria de 90%.

Um desperdício de papel

Um cartão comum da Mega-Sena possui 14x8.4 cm. Acredite. Eu medi. Isso equivale a 117.6 cm² de papel. Para preencher todos os mais de 50 milhões de cartões possíveis, são necessários 588751 m² de papel, que é aproximadamente o tamanho da cidade do Vaticano.

Considerando a densidade comum do papel A4 de 75 g/m², são necessárias aproximadamente 44 toneladas de papel para todos esses números.

Considerando a espessura comum de 0.1 mm, podemos empilhar os bilhetes ao invés de colocá-los lado a lado. O resultado são 5.000 m de altura de papel. Uma altura considerável, mas não é suficiente para alcançar o Everest, com seus imponentes 8.848 m de altura.

Todo número nasce igual… ou quase

Dentro de uma distribuição aleatória, é esperado que com o passar do tempo ela se torne uniforme, com igual probabilidade para todos os termos. Isso é realmente o que acontece analisando todas as ocorrências desde 1996.

O esperado é que cada número possua a probabilidade independente de 1/60 de ser sorteado, ou aproximadamente 1.67% das vezes.

Curiosamente, alguns números se destacam: o número 26 é o que menos apareceu em todos os concursos, sendo sorteado 164 vezes ou 1.37% das vezes. O número com maior probabilidade é o 5, com 232 ocorrências e aparecendo 1.93% das vezes.

O que esses dados significam? Absolutamente nada. Com um desvio padrão de 14.4, essa distribuição está bem próxima de uniforme. As variações encontradas são devido ao baixo número de amostras, e essa diferença tende a diminuir com o tempo, quando mais e mais números são sorteados.

Mas minha probabilidade de ganhar aumenta com o tempo… certo?

Um erro muito comum das pessoas é assumir que a probabilidade vai aumentando com o tempo: quanto mais tempo passa, mais provável é que você ganhe alguma coisa.

Tomemos como exemplo o lançamento de uma moeda, escolhendo coroa. É esperado que a probabilidade de ganhar escolhendo coroa seja de 50%. Agora vamos supor que alguém jogue a moeda duas vezes, tentando obter coroa. São 4 possibilidades possíveis:

• K C
• C K
• C C
• K K

Podemos observar que a probabilidade combinada é de 75%, pois em 3 dos 4 casos um dos lançamentos é coroa. Isso se deve ao fato de os lançamentos serem independentes. Caso você perca no primeiro lançamento, a probabilidade de ganhar cai imediatamente para 50%.

O mesmo ocorre na Mega-Sena. Sua probabilidade de ganhar em cada concurso continua a mesma, mas jogar mais concursos aumenta de leve suas chances de ganhar. A equação que rege essa probabilidade é:

\[P_G = 1 - (P_P)^n\]

Vamos digerir essa fórmula: a probabilidade ganhar, é igual a 1 menos a probabilidade de perder elevado ao número de tentativas. Voltando ao exemplo da moeda, onde a probabilidade de perder é 1/2 e são realizadas duas tentativas:

\[P_G = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 0.75 = 75 \, \%\]

Por fim, a chance de ganhar na Mega com n concursos também segue essa lógica:

\[P_G = 1 - \left(\frac{50.063.859}{50.063.860}\right)^n\]

Que como você pode perceber de antemão, é pequeno para valores pequenos de n, o que já era de se esperar: é preciso participar de muitos concursos para ter uma probabilidade alta de ganhar. Mas quantos exatamente? O gráfico a seguir mostra como a chance de ganhar varia com o número de concursos participados.

É incrível como o a probabilidade cai substituindo vários cartões em um mesmo concurso por apenas cartão em vários concursos. Para ter aproximadamente 50% de chance de ganhar, você teria que participar de aproximadamente 30 milhões de concursos.

Na marca de 100 milhões de concursos, você já deve ter o seu prêmio, com 86% de chance. Mas para valores até 500 mil concursos, a probabilidade continua insignificante, de menos de 1%.

Mas existe uma chance… certo?

Sim. A chance é infinitesimal, mas existe. Mas tenha em mente que ela é menor ou igual aos seguintes eventos:

• Tirar coroa no cara ou coroa 25 vezes seguidas.
• Morrer em um acidente de avião. Sério.
• Ser morto por um meteoro. Sério².
• Jogar 9 dados e todos caírem com a face 6 voltada para cima.
• Ganhar um prêmio Nobel (não que prêmios Nobel sejam distribuídos ao acaso).

Mas eu quero tentar!

Eu sei que apesar de tudo sua mão está tremendo de ansiedade para jogar na Mega-Sena. Então eu montei uma tabela para planejar as suas chances de ganhar! Insira quantos números você quer apostar por concurso, quantos concursos quer participar e ele te dá a probabilidade de ganhar! Você ainda pode aumentar suas chances diminuindo a dificuldade ou diminuir o preço do cartão.